Le premier ordre souvent discuté dans l`école primaire est l`ordre standard sur les nombres normaux e. Pour être un ordre partiel, une relation binaire doit être réflexive (chaque élément est comparable à lui-même), antisymétrique (pas deux éléments différents précéder l`autre), et transitif (le début d`une chaîne de relations de précédence doit précéder la fin de la chaîne). Si le comptage n`est effectué qu`à l`isomorphisme, la séquence 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… (séquence A000112 dans l`OEIS) est obtenue. L`échange de ≤ avec ≥ donne la définition de la maximalité. C`est donc le plus grand élément de l`ordre. Les ensembles inférieurs sont définis de manière Dually. En outre, un préordre naturel des éléments de l`ensemble sous-jacent d`une topologie est donné par l`ordre de spécialisation appelé, qui est en fait un ordre partiel si la topologie est T0. Toutefois, s`il existe un élément minimal, il s`agit du seul élément minime de l`ordre. Les diagrammes Hasse peuvent représenter visuellement les éléments et les relations d`un ordre partiel. Dans la topologie, les commandes jouent un rôle très important. La notion d`ordre est très générale, s`étendant au-delà des contextes qui ont une sensation immédiate et intuitive de la séquence ou de la quantité relative. En fait, l`ensemble des ensembles ouverts fournit un exemple classique d`un treillis complet, plus précisément une algèbre Heyting complète (ou “frame” ou “locale”).

Dans la figure en haut à droite, e. Dans d`autres contextes, les ordres peuvent capturer des notions de confinement ou de spécialisation. Bien que la plupart des domaines mathématiques utilisent des ordres dans un ou l`autre sens, il ya aussi quelques théories qui ont des relations qui vont bien au-delà de la simple application. On voit facilement que cela donne un ordre partiel. Bien que cet ensemble n`ait ni haut ni bas, les éléments 2, 3 et 5 n`ont pas d`éléments en dessous d`eux, tandis que 4, 5 et 6 n`en ont pas au-dessus. Plus explicitement, laissez Hom (x, y) = {(x, y)} si x ≤ y (et sinon le jeu vide) et (y, z) ∘ (x, y) = (x, z). Toutes ces propriétés, et bien d`autres encore, peuvent être compilées sous l`étiquette des fonctions de préservation des limites. Cette question est #854928. Nous écrivons alors un ≤ b si et seulement si a = a ∧ b {displaystyle a = awedge b}. Un exercice instructif consiste à dessiner le diagramme Hasse pour l`ensemble des nombres naturels qui sont plus petits ou égaux à 13, commandés par | (la relation divise). Cependant, ce sont vraiment des problèmes linguistiques plutôt que des problèmes mathématiques, et aussi longtemps que nous pouvons Trier ce que cela signifie réellement, l`ordre alphabétique est certainement un exemple d`un ordre partiel.

Un élément a est dit être couvert par un autre élément b, écrit un <: b, si a est strictement inférieur à b et pas de troisième élément c s`adapte entre eux; formellement: si un ≤ b et un ≠ b sont vrais, et un ≤ c ≤ b est faux pour chaque c avec un ≠ c ≠ b. Dans les définitions précédentes, nous avons souvent noté qu`un concept peut être défini simplement en invertant l`ordre dans une définition antérieure. En d`autres termes, une commande totale sur un ensemble avec des éléments k induit une bijection avec les premiers nombres naturels k. En fait, cette limite supérieure est tout à fait spéciale: c`est le plus petit ensemble qui contient tous les ensembles. Appliqué à l`espace vectoriel RN, chacun de ceux-ci en font un espace vectoriel ordonné. Souvent, on peut aussi faire état des constructions de commandes, comme l`ordre des produits, en termes de catégories. Manhattan est dans les limites de Manhattan; où d`autre serait-il? Les filtres et les filets sont des notions étroitement liées à la théorie de l`ordre et l`opérateur de fermeture de sets peut être utilisé pour définir la topologie. D`autre part, puisque New York et l`état de New York sont deux choses différentes, pas deux noms pour la même chose, ce qui précède implique que l`état de New York ne peut pas être dans les limites de la ville de New York.

De cette façon, chaque ordre est considéré comme équivalent à un graphe acyclique dirigé, où les noeuds sont les éléments de la poset et il ya un chemin dirigé de a à b si et seulement si un ≤ b.